Действия с матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица. Занимательная Высшая Математика.

Итак, приступим к некоторым примерам. Я не буду распространяться о теории, её в интернете найти легко, а вот "живых" примеров маловато.

Поехали......

А) 3А + 4В;

Решение заданной матрицы.

Б) АВ – ВА;

Решение заданной матрицы.

В) (А-В)^-1

Здесь у нас получается обратная матрица. Находим определитель матрицы. Тут я приведу формулу, без неё никуда, так как можно понять откуда и куда подставлять цифры.

Находим по формуле: =a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₂₁*a₃₂*a₁₃ - a₃₁*a₂₂*a₁₃ - a₁₂*a₂₁*a₃₃ - a₁₁*a₂₃*a₃₂

= 3*5*3 + 2*(-2)*(-3) + (-5)*1*5 - (-3)*5*5 - 2*(-5)*3 - 3*(-2)*1 = 45+12-25+75+30+6=143≠0

143≠0

значит, обратная матрица существует.

Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной

Сформируем расширенную матрицу

Матрица в степени 3.

Дана матрица

Возвести матрицу в куб. Решение

ЗАметим, что матрицы

являются перестановочными.

Построить матрицу, обратную к матрице.

Построить матрицу, обратную к матрице:

Решение

Вычислим:

— обратная матрица существует.

Решаем дальше:

Убедимся, что матрица А в степени –1, построенная нами, является обратной к матрице А. Найдем АА в степени –1:

Найти матрицу, обратную матрице.

Найти матрицу, обратную матрице:

Решение

Запишем соответствующее линейное преобразование:

Найденные из этой системы уравнений х1, х2 представим через у1, у2. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2 и отнимем от второго уравнения, а дальше умножим обе части первого уравнения на 3 и отнимем от второго уравнения. Получим систему уравнений:

Отсюда

Матрица коэффициентов этого линейного преобразования

является матрицей, обратной матрице А.