Построить матрицу, обратную к матрице.

Построить матрицу, обратную к матрице:

Решение

Вычислим:

— обратная матрица существует.

Решаем дальше:

Убедимся, что матрица А в степени –1, построенная нами, является обратной к матрице А. Найдем АА в степени –1:

Найти произведение матриц.

Найти произведение матриц:

Решение

На этом примере видим, что в общем случае

Найти ранг матрицы.

Найти ранг матрицы:

Решение

Умножим первую строку на 2 и отнимем от второй строки. Дальше умножим первую строку на 3 и отнимем от третьей строки. В результате получим эквивалентную матрицу:

Вычисление ранга матрицы на этом этапе можно прекратить, поскольку матрица А2 имеет лишь две ненулевые строки. Отсюда вытекает, что ранг матрицы А2 не может быть больше чем два. Кроме того, матрица А2 имеет две ненулевые линейно независимые строки.

Итак,

Найти матрицу, обратную матрице.

Найти матрицу, обратную матрице:

Решение

Запишем соответствующее линейное преобразование:

Найденные из этой системы уравнений х1, х2 представим через у1, у2. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2 и отнимем от второго уравнения, а дальше умножим обе части первого уравнения на 3 и отнимем от второго уравнения. Получим систему уравнений:

Отсюда

Матрица коэффициентов этого линейного преобразования

является матрицей, обратной матрице А.

Найти решение системы уравнений методом Крамера.

Найти решение системы уравнений методом Крамера:

Решение

x1 = Δ1/Δ = 1;

x2 = Δ2/Δ = 2;

Ответ x3 = Δ3/Δ = 3.

Решить систему уравнений матричным методом.

Решить систему уравнений матричным методом:

Решение:

Найдем обратную матрицу А в степени -1.

Делаем проверку:

Найдем матрицу X^

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Решить систему методом Гаусса.

Решить систему методом Гаусса.

Решение

Составим расширенную матрицу системы:

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.