Действия с матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица. Занимательная Высшая Математика.

Итак, приступим к некоторым примерам. Я не буду распространяться о теории, её в интернете найти легко, а вот "живых" примеров маловато.

Поехали......

А) 3А + 4В;

Решение заданной матрицы.

Б) АВ – ВА;

Решение заданной матрицы.

В) (А-В)^-1

Здесь у нас получается обратная матрица. Находим определитель матрицы. Тут я приведу формулу, без неё никуда, так как можно понять откуда и куда подставлять цифры.

Находим по формуле: =a₁₁*a₂₂*a₃₃ + a₁₂*a₂₃*a₃₁ + a₂₁*a₃₂*a₁₃ - a₃₁*a₂₂*a₁₃ - a₁₂*a₂₁*a₃₃ - a₁₁*a₂₃*a₃₂

= 3*5*3 + 2*(-2)*(-3) + (-5)*1*5 - (-3)*5*5 - 2*(-5)*3 - 3*(-2)*1 = 45+12-25+75+30+6=143≠0

143≠0

значит, обратная матрица существует.

Припишем справа к исходной матрице единичную. В полученной расширенной матрице, левая часть есть исходная матрица, а правая единичная. Затем, производя элементарные операции над строками расширенной матрицы, будем приводить левую часть расширенной матрицы к единичной. По достижению указанной цели правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной

Сформируем расширенную матрицу

Вычислить определитель матрицы

Вычислить определитель матрицы.

Тут все просто.

Решение.

Матрица в степени 3.

Дана матрица

Возвести матрицу в куб. Решение

ЗАметим, что матрицы

являются перестановочными.

Даны матрицы

Найти: 2A+B.

Решение:

Теперь.

Определитель матрицы.

Требуется вычислить определитель матрицы.

Решение.

Вычислить определитель матрицы методом треугольников.

Вычислить определитель матрицы по правилу треугольников:

Решение

Правило треугольников: определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях и в вершинах реугольников с основаниями параллельными диагоналям.
Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со знаком минус. Надеюсь кто-нибудь понял эту коротюсенькую выдержку из теории.

Упростить матрицу и вычислить её определитель.

Упростить матрицу и вычислить определитель:

Решение

Проще всего получить три нуля в третьем столбце. Для этого прибавим элементы второй строки к элементам четвертой:

Теперь умножим элементы первой строки на(-1) и сложим с элементами третьей строки:

Умножая элементы второй строки на (-2) и складывая с элементами первой строки,получим:

Складывая второй столбец с первым, будем иметь

В заключении умножим второй столбец на 3 и сложим с третьим

Построить матрицу, обратную к матрице.

Построить матрицу, обратную к матрице:

Решение

Вычислим:

— обратная матрица существует.

Решаем дальше:

Убедимся, что матрица А в степени –1, построенная нами, является обратной к матрице А. Найдем АА в степени –1:

Найти произведение матриц.

Найти произведение матриц:

Решение

На этом примере видим, что в общем случае

Найти ранг матрицы.

Найти ранг матрицы:

Решение

Умножим первую строку на 2 и отнимем от второй строки. Дальше умножим первую строку на 3 и отнимем от третьей строки. В результате получим эквивалентную матрицу:

Вычисление ранга матрицы на этом этапе можно прекратить, поскольку матрица А2 имеет лишь две ненулевые строки. Отсюда вытекает, что ранг матрицы А2 не может быть больше чем два. Кроме того, матрица А2 имеет две ненулевые линейно независимые строки.

Итак,

Найти матрицу, обратную матрице.

Найти матрицу, обратную матрице:

Решение

Запишем соответствующее линейное преобразование:

Найденные из этой системы уравнений х1, х2 представим через у1, у2. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2 и отнимем от второго уравнения, а дальше умножим обе части первого уравнения на 3 и отнимем от второго уравнения. Получим систему уравнений:

Отсюда

Матрица коэффициентов этого линейного преобразования

является матрицей, обратной матрице А.

Найти решение системы уравнений методом Крамера.

Найти решение системы уравнений методом Крамера:

Решение

x1 = Δ1/Δ = 1;

x2 = Δ2/Δ = 2;

Ответ x3 = Δ3/Δ = 3.

Решить систему уравнений матричным методом.

Решить систему уравнений матричным методом:

Решение:

Найдем обратную матрицу А в степени -1.

Делаем проверку:

Найдем матрицу X^

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.